Beweis
Wir wollen zeigen, dass gilt:
\[\begin{eqnarray*} p(\mu|x) &\propto& \exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2+\frac{1}{\sigma_0^2}(\mu-\mu_0)^2\right)\right)\\ &\propto& \exp\left(\frac{1}{\tilde{\sigma}^2}\left(\mu-\tilde{\mu}\right)^2\right) \end{eqnarray*}\]
mit \(\tilde{\sigma}^2=\left(\frac{n}{\sigma^2}+\frac{1}{\sigma_0^2}\right)^{-1}\) und \(\tilde{\mu} = \tilde{\sigma}^2\cdot \left(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\sigma^2} + \frac{\mu_0}{\sigma^2_0} \right)\)
Wir benutzten dafür quadratische Ergänzung: Zuerst quadrieren wir die beiden Klammern in der Exponentialfunktion aus. Dann addieren wir eine Konstante so, dass wir wieder auf eine quadratische Form kommen.
Zwischenrechnung
Wir benutzen die Abkürzungen \(x_{\bullet}=\sum_{i=1}^nx_i\), \(x^2_{\bullet}=\sum_{i=1}^n(x_i^2)\) für eine Zwischenrechnung:
\[ \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 = \sum_{i=1}^n(x_i^2-2x_i\mu+\mu^2) = x^2_{\bullet}-2\mu x_{\bullet}+n\mu^2 \]
\[ (\mu-\mu_0)^2 = (\mu^2-2\mu\mu_0+\mu_0^2) \]
\[ \frac{1}{\sigma^2}(x^2_{\bullet}-2\mu x_{\bullet}+n\mu^2) + \frac{1}{\sigma_0^2}(\mu^2-2\mu\mu_0+\mu_0^2) = \left(\frac{n}{\sigma^2}+\frac{1}{\sigma_0^2}\right)\mu^2-2\mu\left(\frac{x_{\bullet}}{\sigma^2}+\frac{\mu_0}{\sigma^2_0}\right) + c_1 \]
Dabei ist \(c_1\) eine nicht von \(\mu\) abhängige Konstante, die uns nicht weiter interessiert. Mit den Abkürzungen \(\tau=\frac{n}{\sigma^2}+\frac{1}{\sigma_0^2}\) und \(m=\frac{x_{\bullet}}{\sigma^2}+\frac{\mu_0}{\sigma^2_0}\) gilt
Quadratische Ergänzung
\[ \tau\mu^2-2m\mu+ \frac{m^2}{\tau}= \tau\left(\mu-\frac{m}{\tau}\right)^2 \]
zusammengenommen also mit \(c_2=\frac{m^2}{\tau}\) (ebenfalls eine von \(\mu\) unbhängige Konstante):
\[ \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 + \frac{1}{\sigma_0^2}(\mu-\mu_0)^2 \\ = \tau\mu^2-2m\mu + c_1 +(c_2 - c_2) \\ = \tau\left(\mu-\frac{m}{\tau}\right)^2 + c_1 - c_2 \]
Zusammenfassung
Da \(c_1\) und \(c_2\) nicht von \(\mu\) abhängen, gilt also
\[ \exp\left(\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 + \frac{1}{\sigma_0^2}(\mu-\mu_0)^2\right) \propto \exp\left(\tau\left(\mu-\frac{m}{\tau}\right)^2\right) \]
Das ist der Kern einer Normalverteilungsdichte mit Erwartungswert \(\tilde{\mu}=\frac{m}{\tau}=\frac{\frac{x_{\bullet}}{\sigma^2}+\frac{\mu_0}{\sigma^2_0}}{\frac{n}{\sigma^2}+\frac{1}{\sigma_0^2}}\) und Varianz \(\tilde\sigma^2=\frac{1}{\tau}=\left(\frac{n}{\sigma^2}+\frac{1}{\sigma_0^2}\right)^{-1}\).