Quadratische Ergänzung

Zwischenrechnung

Wir benutzen die Abkürzungen $x_{\bullet}=\sum_{i=1}^nx_i$, $x^2_{\bullet}=\sum_{i=1}^n(x_i^2)$ für eine Zwischenrechnung:

$$\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 = \sum_{i=1}^n(x_i^2-2x_i\mu+\mu^2) = x^2_{\bullet}-2\mu x_{\bullet}+n\mu^2$$

$$(\mu-\mu_0)^2 = (\mu^2-2\mu\mu_0+\mu_0^2)$$

$$\frac{1}{\sigma^2}(x^2_{\bullet}-2\mu x_{\bullet}+n\mu^2) + \frac{1}{\sigma_0^2}(\mu^2-2\mu\mu_0+\mu_0^2) = \left(\frac{n}{\sigma^2}+\frac{1}{\sigma_0^2}\right)\mu^2-2\mu\left(\frac{x_{\bullet}}{\sigma^2}+\frac{\mu_0}{\sigma^2_0}\right) + c_1$$

Dabei ist $c_1$ eine nicht von $\mu$ abhängige Konstante, die uns nicht weiter interessiert. Mit den Abkürzungen $\tau=\frac{n}{\sigma^2}+\frac{1}{\sigma_0^2}$ und $m=\frac{x_{\bullet}}{\sigma^2}+\frac{\mu_0}{\sigma^2_0}$ gilt

Quadratische Ergänzung

$$\tau\mu^2-2m\mu+ \frac{m^2}{\tau}= \tau\left(\mu-\frac{m}{\tau}\right)^2$$

zusammengenommen also mit $c_2=\frac{m^2}{\tau}$ (ebenfalls eine von $\mu$ unbhängige Konstante):

$$\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 + \frac{1}{\sigma_0^2}(\mu-\mu_0)^2 \\ = \tau\mu^2-2m\mu + c_1 +(c_2 - c_2) \\ = \tau\left(\mu-\frac{m}{\tau}\right)^2 + c_1 - c_2$$

Zusammenfassung

Da $c_1$ und $c_2$ nicht von $\mu$ abhängen, gilt also

$$\exp\left(\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 + \frac{1}{\sigma_0^2}(\mu-\mu_0)^2\right) \propto \exp\left(\tau\left(\mu-\frac{m}{\tau}\right)^2\right)$$

Das ist der Kern einer Normalverteilungsdichte mit Erwartungswert $\tilde{\mu}=\frac{m}{\tau}=\frac{\frac{x_{\bullet}}{\sigma^2}+\frac{\mu_0}{\sigma^2_0}}{\frac{1}{\sigma^2}+\frac{1}{\sigma_0^2}}$ und Varianz $\tilde\sigma^2=\frac{1}{\tau}=\left(\frac{n}{\sigma^2}+\frac{1}{\sigma_0^2}\right)^{-1}$.

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