Gegeben seien binomialverteilte Daten \(X\sim B(n,\pi)\) mit Beta-Priori \(\pi\sim Beta(a,b)\) (vgl. Billardbeispiel).

Die Posteriori-Prädiktive Verteilung einer neuen Beobachtung \(Y\) ist die Beta-Binomial-Verteilung. Diese erhält man, indem man über die gemeinsame Dichte \(f(y,\pi|x)\) integriert: \(f(y|x)=\int f(y,\pi|x) d\pi\).

Alternativ kann man einen Gibbs-Sampler verwenden, um aus der gemeinsame Dichte von \(Y\) und \(\pi\) zu ziehen. Betrachtet man nur die Ziehungen von \(Y\), sind diese Ziehungen aus der marginalen Dichte \(f(y|\pi)\).

Es gilt \(Y\sim B(m,\pi)\) und \(\pi\sim Beta(\tilde{a},\tilde{b})\) (Posteriori). Dabei ist \(m\) die Anzahl von neuen Versuchen, \(\tilde{a}\) und \(\tilde{b}\) die Posteriori-Parameter:

\[ \begin{eqnarray} f(y,\pi|x) &=& f(y|\pi)p(\pi|x)\\ &=& {y\choose m}\pi^y(1-\pi)^{m-y} \frac{1}{B(a,b)} \pi^{\tilde{a}-1}(1-\pi)^{\tilde{b}-1} \end{eqnarray} \]

Wie lautet hier die vollständig bedingte Dichte \(f(\pi|x,y)\)?

Wie lautet hier die vollständig bedingte Dichte \(f(y|x,\pi)\)?

Beispiel für \(m=10\), \(\tilde{a}=25\) und \(\tilde{b}=75\):

m<-10
y<-5
pi<-0.25
for (i in 1:1000)
{
  y<-c(y,rbinom(1,m,pi[i]))
  pi<-c(pi,rbeta(1,25+y[i+1],75+m-y))
}
plot(y, type="l")

barplot(table(y))

Gegeben sei folgendes JAGS-Modell:

model <- "model{
    x ~ dbinom(pi, n)
    pi ~ dbeta(1,1)
}"

Hier sind die Ergebnisse:

## Compiling model graph
##    Resolving undeclared variables
##    Allocating nodes
## Graph information:
##    Observed stochastic nodes: 1
##    Unobserved stochastic nodes: 1
##    Total graph size: 4
## 
## Initializing model

## 
## Iterations = 1001:2000
## Thinning interval = 1 
## Number of chains = 1 
## Sample size per chain = 1000 
## 
## 1. Empirical mean and standard deviation for each variable,
##    plus standard error of the mean:
## 
##           Mean             SD       Naive SE Time-series SE 
##      0.0257633      0.0048427      0.0001531      0.0001860 
## 
## 2. Quantiles for each variable:
## 
##    2.5%     25%     50%     75%   97.5% 
## 0.01738 0.02245 0.02550 0.02910 0.03607

Die Hypothese war hier, dass \(\pi\) größer als 0.05 ist.

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